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授業の目標
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複素関数は流体力学を初め、振動工学など多方面の分野に非常によく現れる関数である。複素関数を用いることで、数学的な処理が非常に簡潔に明確な形で行えることが少なくない。偏微分方程式は、物理現象を記述する支配方程式として、工学のほぼ全領域で現れる非常に重要な方程式である。以上、物理現象の解析的ならびに数値的なアプローチに欠かすことができない重要な概念である複素解析と偏微分方程式の基礎を習得する。
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到達目標
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応用数学の基礎的な公式の誘導とその意味することを把握できる。また、物理現象の説明において、関係する適切な応用数学の分野の公式を用いて解析能力を発揮できる。
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身につく能力
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＜全学ディプロマ・ポリシー＞
○【知識・理解・技術】
１．各専門分野の知識・技術を習得し、活用する力を身につけている
【教養・基礎的能力】
２．幅広い教養と、外国語能力、情報活用能力、コミュニケーション能力などの基礎的能力を身につけている
【態度・志向性】
３．多様な価値観を有する人々と倫理観・責任感をもって協働することができる
【態度・志向性】
４．時代の変化に主体的に対応するため継続的に学び、自律的に行動することができる
【問題発見・解決能力】
５．専門の知識・技術及び基礎的能力を統合し活用して、問題を発見し解決する能力を身につけている
【ｸﾞﾛｰｶﾙ・創造的思考力】
６．地域的・国際的視点をあわせもち、また、新たな価値を想像する力を身につけている
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授業の概要
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本授業では、複素解析の基礎概念、微分に関する諸公式、積分に関する諸公式、偏微分方程式の解析的解法を学習する。
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授業の計画
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第 1週 複素数の関数１ 複素数．n 乗根
第 2週 複素数の関数２ 数列・級数・極限
第 3週 複素数の関数３ 複素変数の関数
第 4週 正則関数 １ コーシー・リーマンの方程式
第 5週 正則関数 ２ 基本的な正則関数．逆関数
第 6週 複素関数の積分１ 複素数の関数の積分
第 7週 複素関数の積分２ コーシーの定理
第 8週 複素関数の積分３ コーシーの積分表示
第 9週 展開・特異点・留数１ べき級数
第10週 展開・特異点・留数２ テイラー展開・ローラン展開
第11週 展開・特異点・留数３ 留数
第12週 展開・特異点・留数４ 留数の応用
第13週 偏微分方程式１ 線形性と解の重ね合わせの原理
第14週 偏微分方程式２ ２階線形偏微分方程式・変数分離法
第15週 復習・まとめ
第16週 最終筆記試験
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授業時間外学修の指示
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・各授業で学んだ項目を教科書を用いて復習すること。
・特に重要な数式の導出は各自自分でできるようにすること。
・重要な問題がレポートとなるので、レポート提出後もすべて完全に解けるように復習すること。
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成績評価の方法
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演習およびレポート(授業外学修の状況をみる、40%)、期末試験(到達目標の達成状況をみる、60％)で判断する。これらの総合評価により60%以上を合格とする。
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テキスト・参考書等
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テキスト：矢野健太郎・石原 繁共著「解析学概論(新版)」, 掌華房, ￥2,500＋税
参 考 書：渋谷仙吉・内田伏一共著「偏微分方程式」, 掌華房, ￥1,900＋税
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履修上の留意点
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・工業数学を履修していることが望ましい。
・高校の数学全般を復習し、習熟しておくこと。
【manabaの利用法】
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資料
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備考
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